Gracias Juanifp, al final hallé la solución de esta manera:
El error que me aparecía se debía a que había llevado a cabo recientemente la actualización de Internet Explorer a la versión 8, la cual incorpora una configuración de seguridad muy restrictiva. Para solucionarlo, tuve que hacer dos cosas: actualizar la máquina virtual de Java a la versión 1.6.0_20 (puede hacerlo desde
http://www.java.com/es/download/index.jsp); y llevar a cabo posteriormente los siguiente pasos en internet explorer:
1. En Internet Explorer 8, ir a Herramientas>Opciones de Internet
2. En la pestaña “Seguridad”, icono de Internet, pulsar el botón “Nivel Personalizado…”
3. Buscar la entrada "Incluir la ruta de acceso al directorio local cuando se carguen archivos a un servidor" y habilitarlo.
4. Buscar también la entrada "Permitir la ejecución de Scripts en el control del explorador web de Internet Explorer" y habilitarlo.
5. Una vez hecho, aceptar todo y cerrar todas las ventanas abiertas del navegador para que coja los cambios.
Eliminé todos los archivos temporales en Internet Explorer (botón “Seguridad” en la barra de pestañas-Eliminar el historial de exploración), reinicié el equipo y volví a intentar el proceso de diligenciado. Ahora sí, todo correcto.
No obstante, comprobé que el nivel de seguridad de Internet Explorer fuera el adecuado (recomendado el nivel medio en la zona de Internet), así como el resto de programas que pudieran interferir en la carga del cliente de firma (antivirus, cortafuegos, barras de navegación, etc).
Un saludo.